Урок «Решение неравенств с одной переменной и их систем. Урок "решение линейных неравенств"
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока : урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации.
Цели урока :
- обучающая : в результате урока учащиеся обобщают и систематизируют знания по теме «Неравенства», знакомятся с новым способом решения некоторых логарифмических неравенств.
- развивающая : в результате урока учащиеся учатся анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;
- воспитательная : в результате урока учащиеся развивают коммуникативные навыки, ответственное отношение к достижению цели.
Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний
«Решение неравенств» – тема очень актуальная в математике. С неравенствами мы встречались на уроках алгебры, начиная с 8 класса. Мы рассматривали разные виды и разные способы решения неравенств. Сегодня мы вспомним основные виды неравенств, назовём способы их решений и познакомимся с некоторыми приёмами, упрощающими их решения. Слайд 1
Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.
Сообщение учащегося
1. Виды неравенств и их решение.
| Вид неравенства | Решение |
| Линейные |
 |
| Содержащие чётную степень
|
 |
| Содержащие нечётную степень
|
|
| Иррациональные
|
 |
| Иррациональные |
|
Показательные
|
|
| Логарифмические |
|
Тригонометрические
|
При решении используют тригонометрическую окружность или график соответствующей функции |
Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?
Учащиеся называют : возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.
Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?
Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).
Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях.
Сообщение учащегося
2. Равносильность неравенств.
Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.
Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел
- Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)
- Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)
- Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)
- Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)
Фронтальная работа
Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?
II. Изучение нового материала
Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают
- алгебраический
- функциональный
- графический
- геометрический
подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые.
Среди алгебраических методов решения неравенств выделяют:
- Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем
- Метод замены
- Разбиение области определения неравенства на подмножества
Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы попытаемся искать наиболее рациональные способы решения неравенств.
Логарифмическое неравенство можно свести к равносильной совокупности систем неравенств
Решите неравенство : (учащиеся работают в группах)
Ответ:
Учитель: Оказывается, что данное неравенство можно решить иначе.
Зная свойства логарифма о том, что log а b < 0, если a и b по разные стороны от 1, log a b > 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.
Даный урок проводится в 11 классе по программе базового уровня. Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной». Рассматриваются неравенства разного вида. Повторяются способы решения неравенств.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Конспект открытого урока
«Решение неравенств с одной переменной»
Класс: 11б
Уровень:
Цель урока: обобщить знания по теме «Решение неравенств с одной переменной».
Задачи урока:
обучающие:
- обобщить и систематизировать знания, полученные при изучении темы «Решение неравенств с одной переменной»;
- рассмотреть решение неравенств с одной переменной различного вида;
- рассмотреть общие способы решения неравенств с одной переменной (метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод);
- закрепить умение применять основные теоремы равносильности при решении неравенств с одной переменной;
- способствовать расширению знаний по изучаемой теме;
развивающие:
- развитие логического мышления, памяти, умения рассуждать, искать рациональный способ решения поставленной задачи;
- формирование умений сравнивать, обобщать, анализировать изучаемые факты;
- развитие у учащихся самостоятельности в мышлении и учебной деятельности;
- развитие математической речи;
воспитывающие:
- воспитание самоконтроля, ответственности, настойчивости в достижении поставленных целей;
- повышать уровень учебной мотивации с использованием компьютерных технологий;
- воспитание коллективизма, взаимопомощи и ответственности за общую работу;
- воспитание аккуратности при выполнении практических заданий;
- воспитывать внимательность, активность, уверенность в себе.
Тип урока: урок повторения и обобщения
Оборудование: две ученических доски, интерактивная доска, проектор, компьютер.
Программное обеспечение: Microsoft Word, Microsoft PowerPoint, 1С Математический конструктор 4.0, презентация к уроку.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 4-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.
План урока:
1) организационный момент
2) повторение теоретических сведений по изучаемой теме
3) проверка домашнего задания, работа по карточкам
4) применение теоретических знаний на практике (решение задач устно и письменно по изучаемой теме)
5) самостоятельная работа
6) рефлексия
7) подведение итогов урока
8) запись домашнего задания
Ход урока.
- Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку, вступительное слово учителя, название темы, целей урока, запись в тетрадях числа и темы урока (слайд 1)
Ребята, на доске отображено множество различных неравенств. Какие неравенства вы видите? (Тригонометрические, иррациональные, степенные, линейные, квадратные, логарифмические, показательные, дробно-рациональные.)
Что общего у этих неравенств? (Все неравенства содержат одну переменную.)
Начиная с восьмого класса вы изучаете решение таких неравенств. Сегодня на уроке мы поговорим о равносильности неравенств, применении теорем равносильности при их решении, а также вспомним основные методы решения неравенств с одной переменной. К концу урока пусть каждый из вас ответит на вопрос: «Насколько хорошо я владею тем или иным методом решения неравенств с одной переменной?»
Запишите в тетради число и тему урока «Решение неравенств с одной переменной».
- Повторение теоретических сведений по изучаемой теме.
Учитель выдаёт карточки с индивидуальными заданиями разного уровня сложности.
Решите неравенство (1 уровень) | Решите неравенство (2 уровень) |
№ 57.16а (домашнее задание) | № 57.24а (домашнее задание) |
Ответьте на вопрос: «Что называют решением неравенства?» (Решением неравенства f(x) > g(x) называют всякое значение переменной х, которое обращает неравенство в верное числовое неравенство.) Рассмотрите пример. Назовите другие частные решения данного неравенства и числа, не являющиеся решением. Найдите общее решение данного неравенства. Что является общим решением неравенства с одной переменной? (слайд 2)
Следующий вопрос: «Какие неравенства называются равносильными?» (Неравенства f(x) > g(x) и p(x) > h(x) равносильны, если их решения совпадают.) Равносильны ли неравенства: x 2 ≥ 0 и |x| ≥ 0; ? (Все неравенства решение которых множество действительных чисел – равносильны. Все неравенства решение которых пустое множество – равносильны.) (слайд 3) Используется инструмент «шторка».
Получить неравенство равносильное данному помогают теоремы равносильности. Повторим их и используем в решении неравенств устно. (слайд 5-10)
Используется инструмент «шторка».
Нам известны и ранее неоднократно при решении неравенств применялись четыре метода. Назовите их. (Метод последовательных упрощений, метод интервалов, метод замены переменной, функционально-графический метод.)
На экране вы видите четыре неравенства. Соотнесите каждое неравенство с соответствующем методом решения. (слайд 11)
- Проверка домашнего задания. Учащиеся поясняют свое решение.
№ 57.16а (домашняя работа) Решаем показательное неравенство методом замены переменной. Пусть . Решаем методом интервалов. t≥3, Ответ: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: | х=1,5 х ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ ) х=1 Ответ: х ∈ (1; 1,5) ∪ (2; ∞ ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 57.23б Выполнение данного номера предусмотрено на дополнительной доске. Решаем неравенство графическим методом. Построим график показательной функции y= . Построим график функции y= . Наблюдая за поведением графиков, выясняем, что решением неравенства является промежуток (Промежуток записан на доске) число: - 10; - 6,5; - 4; - 3,1? ● Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку: а) [-1; 4]; б) (- ∞; 3); в) (2; + ∞). ● Найди ошибку! а) x ≥ 7 Ответ: (- ∞; 7); б) y Ответ: (- ∞; 2,5) 4. Изучение нового материала. (Формирование новых понятий и способов действий) Слайд 8. ● Китайский мудрецСюньцзы сказал «В учении нельзя останавливаться». ● Не остановимся и мы. И перейдём к изучению темы «Решение неравенств с одной переменной». Слайды 9 - 11. ● Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Например, Архимед
(III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, указал границы числа Ряд неравенств приводит в своём трактате «Начала» Евклид . Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух чисел не больше их среднего арифметического и не меньше их среднего гармонического. Однако все эти рассуждения древние учёные проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII- XVIII вв. В 1631 году английский математик Томас Гарриот ввел для отношений «больше» и «меньше» знаки неравенства, употребляемые и поныне. Символы и ≥ были введены в 1734 году французским математиком Пьером Буге́ром . Скажите мне, какая математика без них? О тайне всех неравенств, вот о чём мой стих. Неравенства такая штука – без правил не решить! ● Итак, чтобы научиться решать неравенства выясним сначала: что является решением неравенства, и какие свойства используются при его решении. Слайды 12 - 13. ● Рассмотрим неравенство 5х – 11 3. При одних значениях переменной х оно обращается в верное числовое неравенство, а при других нет. Например, при х = 4, получается верное числовое неравенство 5 Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. ● Является ли число 2; 0,2 решением неравенства: а) 2х – 1 3? ● Только ли числа 2 и 0,2 являются решением неравенства 2х – 1 ● Чисел, являющихся решением данного неравенства очень много, но мы должны указать все его решения. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что их нет. Слайд 14. ● Вспомните, уравнения, имеющие одни и те же корни, мы называли равносильными. Понятие равносильности вводится и для неравенств. Неравенства, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Неравенства, не имеющие решений, тоже считают равносильными. Например, неравенства 2х – 6 0 и ● Между решением неравенства и решением уравнения много общего – неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество решений неравенства, как правило, бесконечно. Сделать полную проверку ответа, как мы это делали с уравнениями, в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к равносильному неравенству – имеющему в точности то же множество решений. Для этого опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Слайд 15. При решении неравенств используются следующие свойства:Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, т О получится равносильное ему неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство; если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Слайд 16. ● Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся» ● Рассмотрим и мы на примерах использование свойств равносильности при решении неравенств. Слайды 17 - 18 . Пример 1. Решим неравенство 3(2х – 1) 2(х + 2) + х + 5. Раскроем скобки: 6х – 3 2х + 4 + х + 5. Приведём подобные слагаемые: 6х – 3 3х + 9. Сгруппируем в левой части слагаемые с переменной, а в правой - без переменной: 6х – 3х 9 + 3. Приведём подобные слагаемые: 3х 12. Разделим обе части неравенства на положительное число 3, сохраняя при этом знак неравенства: х 4. 4 х Ответ: (4; + ∞) Пример 2.
Решим неравенство Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т. е. на положительное число 6: 2х – 3х 12. Приведём подобные слагаемые: - х 12. Разделим обе части на отрицательное число – 1, изменив знак неравенства на противоположный: х 12 х Ответ: (- ∞; -12). Слайд 19. ● В каждом из рассмотренных примеров мы заменяли заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ах b или ах где а и b – некоторые числа: 5х ≤ 15, 3х 12, - х 12. Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной. ● В приведённых примерах коэффициент при переменной не равен нулю. Рассмотрим на конкретных примерах решения неравенств ах b или ах при а = 0 . Пример 1. Неравенство 0 х Пример 2. Неравенство 0 х ● Таким образом, линейное неравенство вида 0 х или 0 х b , а значит и соответствующее ему исходное неравенство, либо не имеет решений, либо его решением является любое число. Слайд 20. ● При решении неравенств мы придерживались определённого порядка, который является алгоритмом решения неравенств с одной переменной Алгоритм решения неравенств первой степени с одной переменной. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Сгруппировать слагаемые с переменной в левой части неравенства, а без переменной – в правой части, при переносе меняя знаки. Привести подобные слагаемые. Разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной, если он не равен нулю. Изобразить множество решений неравенства на координатной прямой. Записать ответ в виде числового промежутка. Неравенства такая штука – без правил не решить Я тайну всех неравенств попробую открыть. Три главных правила учи Тогда найдешь ты к ним ключи, Тогда сумеешь их решить. Не будешь думать и гадать Куда перенести и что в нем поменять. И будешь знать наверняка, Что знак изменится, когда неравенств обе части Делить на с минусом число. Но будет оно верным всё равно. Решение покажешь на прямой. Ответ запишешь в виде промежутка. ● Я думаю, это стихотворение поможет вам запомнить, как решать неравенства. 5. Закрепление изученного материала. (Формирование умений и навыков) ● По словам великого немецкого поэта и мыслителя Гёте «Недостаточно только получить знания; надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать». ● Последуем эти словам и начнём учиться применять полученные сегодня знания при выполнении упражнений. Слайды 21 - 22. Устные упражнения. ● Вы обратили, наверное, уже внимание на то, что алгоритм решения неравенств с одной переменной сходен с алгоритмом решения уравнений. Единственная сложность – деление обеих частей неравенства на отрицательное число. Главное здесь не забыть поменять знак неравенства. ● Решите неравенство: 1) – 2х 6; 3) – 2х ≤ 6; 4) – х 5) – х ≤ 0; 6) – х ≥ 4. ● Найдите решение неравенства: 4) 0 х - 5; 5) 0 х ≤ 0; 6) 0 x 0. Слайд 23. ● Выполните упражнения: № 836(а, б, в); № 840(д, е, ж, з); № 844(а, д). 6.Подведение итогов урока. Слайд 24. ● «Как приятно, что ты что – то узнал», - сказал когда - то французский комедиограф Мольер. ● Что нового мы узнали на уроке? ● Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету? Оценка результатов урока учителем: Оценка работы класса (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание). 7. Домашнее задание. Слайд 25. ● Изучить п. 34(выучить определения, свойства и алгоритм решения). ● Выполнить № 835; №836(д – м); № 841. Тема урока «Решение неравенств и их систем» (математика 9 класс) Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений Технология урока: технология развития критического мышления, дифференцированное обучение, ИКТ-технологии Цель урока : повторить и систематизировать знания о свойствах неравенств и методах их решения, создать условия для формирования умений применять эти знания при решении стандартных и творческих задач. Задачи. Образовательные: способствовать развитию умений обучающихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы организовать деятельность обучающихся по применению полученных знаний на практике содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных условиях Развивающие: продолжить формирование логического мышления, внимания и памяти; совершенствовать навыки анализа, систематизации, обобщения; создание условий, обеспечивающих формирование у учеников навыков самоконтроля; способствовать овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности. Воспитательные: воспитывать дисциплинированность и собранность, ответственность, самостоятельность, критичное отношение к себе, внимательность. Планируемые образовательные результаты. Личностные: ответственное отношение к учению и коммуникативная компетентность в общении и сотрудничестве со сверстниками в процессе образовательной деятельности. Познавательные: умение определять понятия, создавать обобщения, самостоятельно выбирать основания и критерии для классификации, строить логическое рассуждение, делать выводы; Регулятивные: умение определять потенциальные затруднения при решении учебной и познавательной задачи и находить средства для их устранения, выполнять оценку своих достижений Коммуникативные: умение высказывать суждения с использованием математических терминов и понятий, формулировать вопросы и ответы в ходе выполнения задания, обмениваться знаниями между членами группы для принятия эффективных совместных решений. Основные термины, понятия: линейноенеравенство, квадратное неравенство, система неравенств. Оборудование Проектор, ноутбук учителя, несколько нетбуков для учащихся; Презентация; Карточки с основными знаниями и умениями по теме урока (приложение 1); Карточки с самостоятельной работой (приложение 2). План урока
Список использованной литературы : Алгебра. Учебник для 9 класса. / Ю.Н.Макрычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова. - М.: Просвещение, 2014
Популярное в рубрике:
© 2024
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
4 – 11 3; 9 3, при х = 2 получится неравенство 5
равносильны, так как решением каждого из них являются числа, большие 3, т. е. х 3. Неравенства х 2 + 4 ≤ 0 и |х| + 3 8 неравносильны, так как решение первого неравенства х ≥ 2, а решение второго х 4.
2.
- 
2 
